概念

数列极限

收敛的 ε-N 定义，单调有界数列必收敛、柯西准则（不借助极限值判断收敛）是两大基本工具。

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数列极限数学分析

01定义

数列

a_n

收敛于

L

指：任意给

\varepsilon>0

，存在

N

使

n>N

时

|a_n-L|<\varepsilon

。这个 ε-N 定义把「越来越接近」变为可验证的断言，是分析严格化的第一块基石。

ε-N 定义：尾部项全部落入 (L−ε, L+ε) 带内

单调有界必收敛（确界原理的化身）；柯西准则「尾部项彼此靠近」不需预知极限值——完备性的最早体现。

极限保持四则运算与不等式（夹逼定理）；收敛数列必有界，但有界不必收敛（如 $(-1)^n$ ）。

数列收敛 $\iff$ 一切子列收敛于同一值；波尔查诺-魏尔斯特拉斯：有界数列必有收敛子列——紧性的一维原型。

\lim a_n=L\iff\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon

\text{柯西}:\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ m,n>N\Rightarrow|a_m-a_n|<\varepsilon

波尔查诺 1817 年、柯西 1821 年先后给出极限的精确表述；魏尔斯特拉斯的 ε-N 课堂讲义经学生笔记流传，成为分析严格化的标准语言。

数值迭代法的收敛判定、级数截断误差估计、算法迭代步数的理论界——一切「逐步逼近」过程的验收标准。

(1+1/n)ⁿ 的双侧夹逼增大 N：下序列递增、上序列递减，从两侧同时逼近 e

N 观察到第 N 项10