概念

延拓与连续依赖

解可延拓到最大存在区间，解连续依赖于初值与参数，保证数值解与真实解不会漂移太远。

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延拓与连续依赖常微分方程

01定义

局部解可以延拓到「最大存在区间」，直至逼近定义域边界或解趋于无穷；解对初值与参数连续依赖——初值微小扰动只会引起解的微小变化。这是数值计算与模型可信度的理论保证。

连续依赖：初值小扰动 ⇒ 整条轨线小偏移

佐恩引理拼接所有局部解得最大解；解只能死于「爆掉」（ $|y|\to\infty$ ）或撞到定义域边界—— $y'=y^2$ 在有限时间爆破为例。

$u'\leq\beta u\Rightarrow u(t)\leq u_0e^{\beta t}$ ：误差增长至多指数——连续依赖与数值误差分析的核心引理。

连续依赖是「模型可预测」的最低要求；对参数也连续依赖，则实验标定后的模型才有外推价值。

|y(t)-z(t)|\leq|y_0-z_0|\,e^{L|t-t_0|}

庞加莱首创对初值扰动的系统研究（天体力学稳定性）；李雅普诺夫与伯克霍夫发展定性理论；格朗沃尔 1919 年的引理成为标准工具。

航天轨道的初值敏感性分析、天气预报的误差增长理论（洛伦兹「蝴蝶效应」的定量版）、数值 ODE 的稳定性理论。

解的最大存在区间：y′=y² 有限时间爆破y′=y², y(0)=y₀ 的解在 T=1/y₀ 处爆破；初值微小扰动 → 解连续变化

y₀ 初值0.60