概念

稳定性

特征值实部为负则稳定，李雅普诺夫函数是判断非线性系统稳定性的通用方法。

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稳定性常微分方程

01定义

稳定性问的是：扰动之后系统是否回归。线性系统看特征值实部，非线性系统靠李雅普诺夫函数——找一个沿轨线单调下降的「能量」，不必求解就能断言稳定。

李雅普诺夫函数：能量等值线引导轨线收缩到平衡点

稳定（留在近旁）⊂ 渐近稳定（还要趋于平衡）⊂ 指数稳定（收敛有速率）；不稳定则由反向判据确认。

雅可比特征值实部全负 $\Rightarrow$ 非线性系统渐近稳定（间接法）；临界情形（实部为 0）须用中心流形细分。

构造 $V(x)>0$ 、 $\dot V\leq 0$ 即得稳定——不求解方程、适用非线性与时变系统；拉塞尔不变性原理补足渐近性。

V(x)>0,\ \dot V(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0\Rightarrow\text{稳定}

李雅普诺夫 1892 年博士论文《运动稳定性的一般问题》创立直接法；拉塞尔 1960 年代的不变性原理、卡尔曼的可控性理论相继完善现代框架。

机器人控制（PD 控制的李雅普诺夫证明）、电力系统暂态稳定、深度学习优化器的收敛分析、生态模型的平衡态分析。

稳定性：平衡点的吸引与排斥x′ = kx：k>0 不稳定（发散），k<0 渐近稳定（收敛）

k 系数0.80