概念

相图分析

相平面上的轨线、平衡点（汇、源、鞍点）与极限环描绘系统的全局行为。

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相图分析常微分方程

01定义

相图把系统状态画成平面上的向量场：轨线沿场流动，平衡点是场的零点。汇、源、鞍点三类平衡点加极限环，构成平面系统的全部「器官」——不求解也能读出演化的全局剧本。

鞍点相图：稳定流形汇入、不稳定流形离开

由雅可比特征值分类：双实负 → 汇（吸引）、双实正 → 源、异号 → 鞍点；复部带来焦点与螺旋。

稳定/不稳定流形分别切于对应特征子空间——鞍点的进出通道；同宿轨连接自身、异宿轨连接不同平衡点。

孤立的闭轨线：范德波尔振子的自持振荡；稳定性由弗洛凯乘子判定——工程振荡器的数学模型。

\dot x=f(x,y),\ \dot y=g(x,y)\Rightarrow\text{相平面向量场}

庞加莱 1881-1886 年四篇论文开创定性理论，从「解公式」转向「解的几何」；本迪克松与安德罗诺夫发展极限环理论。

生态学捕食模型的平衡分析、电路振荡器设计、神经科学的兴奋性分析（Hodgkin-Huxley 相图）、气候系统的多稳态。

相图：阻尼振子的相位平面(x, ẋ) 轨迹螺旋趋向原点；无阻尼时是闭合椭圆

c 阻尼0.25