概念

收敛定理

单调收敛、控制收敛与法图引理是勒贝格积分的三大定理，保证极限与积分交换，这是黎曼积分无法做到的。

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收敛定理实分析

01定义

单调收敛、控制收敛与法图引理是勒贝格积分的三大定理：它们在各自条件下保证

\lim\int f_n=\int\lim f_n

——极限与积分交换。这正是黎曼积分做不到的事，也是现代分析的核心技术。

控制收敛定理：函数列被可积函数 g 罩住时积分与极限可交换

单调收敛（ $f_n\nearrow f$ 非负）、法图引理（ $\int\liminf\leq\liminf\int$ ）、控制收敛（ $|f_n|\leq g\in L^1$ ）——强弱递进，一源三流。

求导与积分交换（莱布尼茨积分法则）、级数与积分交换、期望与极限交换（概率论）——分析中一切「换序」操作的许可证。

尖峰列 $n1_{(0,1/n)}$ ：逐点趋于 0 但积分恒为 1——无控制函数时结论崩塌；控制条件不可省略。

|f_n|\leq g\in L^1,\ f_n\to f\ \text{a.e.}\Rightarrow\int f=\lim\int f_n

勒贝格 1904 年证明控制收敛定理；法图 1906 年博士论文给出引理；单调收敛由贝波·莱维 1906 年证明——三大定理同年前后齐聚。

概率论的期望极限交换（大数定律证明）、PDE 弱解的紧性论证、统计力学的热力学极限、傅里叶分析中逐项积分的合法性。

单调收敛定理：fₙ ↑ f 积分上升fₙ = min(f, 0.6+0.45n)：逐点上升逼近，积分也上升收敛

n 项2