概念

L^p空间

L^p 是 p 次幂可积函数的完备空间，霍尔德不等式与闵可夫斯基不等式是其基本工具，对偶空间为 L^q（1/p+1/q=1）。

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L^p空间实分析

01定义

L^p

是

p

次幂可积函数按范数

\|f\|_p=(\int|f|^p)^{1/p}

构成的完备赋范空间。霍尔德与闵可夫斯基不等式撑起整个结构，对偶空间

L^q

（

1/p+1/q=1

）——现代分析的通用舞台。

Lᵖ 单位球的嵌套：p 越大球越「方」

霍尔德 $\|fg\|_1\leq\|f\|_p\|g\|_q$ 、闵可夫斯基 $\|f+g\|_p\leq\|f\|_p+\|g\|_p$ ——前者是内积的推广，后者保证范数三角不等式。

里斯-费歇尔定理： $L^p$ 完备（柯西列收敛于 $L^p$ 中某函数）——巴拿赫空间的旗舰例子； $L^2$ 更进一步是希尔伯特空间。

$1<p<\infty$ 时 $(L^p)^*=L^q$ ：每个连续线性泛函都是与某 $g\in L^q$ 的配对——弱收敛与 PDE 弱解理论的出发点。

\int|fg|\leq\Bigl(\int|f|^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int|g|^q\Bigr)^{1/q},\quad\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1

霍尔德 1889、闵可夫斯基 1896 年给出不等式；里斯 1910、费歇尔 1907 独立证明完备性；巴拿赫 1932 年《线性算子理论》集其大成。

PDE 的能量估计与弱解空间、信号处理的误差度量（ $L^2$ 均方误差）、概率论的矩空间、压缩感知的 $\ell^1$ 正则化。

L^p 空间：‖f‖_p 随 p 变化p 增大：L^p 范数单调上升且趋于 L^∞ 范数

p2.00