概念

弱形式

Galerkin 方法把 PDE 乘检验函数后分部积分，得到变分弱形式，在分片多项式空间中求解，可处理复杂几何与边界条件。

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弱形式计算数学

01定义

有限元的数学起点：PDE 两边乘检验函数并分部积分，导数负担从解转移到检验函数——「弱解」只需一阶导数平方可积。Galerkin 方法在分片多项式空间中求弱形式的离散解，复杂几何与自然边界条件因此迎刃而解。

从强形式到弱形式：分部积分降低光滑性要求

椭圆方程的弱形式等价于能量泛函极小（Dirichlet 原理）；Lax-Milgram 定理用强制性 + 有界性保证唯一性——泛函分析直接供给存在性定理。

解与检验函数取同一有限维空间（ $V_h\subset V$ ）：得到线性方程组 $Ku=f$ ；刚度矩阵 $K$ 对称正定、稀疏——线性代数接力完成最后一公里。

离散误差 $\leq$ 常数 ×「有限维空间对真解的最佳逼近误差」：有限元误差不超过插值误差的量级——近似质量完全由空间选择决定。

\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx=\int_\Omega fv\,dx\ \ \forall v\in H_0^1

Ritz 与 Galerkin 在 20 世纪初提出变分逼近思想；Courant 1943 年首次用三角单元；Turner 等 1956 年在波音的工程实践催生「有限元」一词，1960 年代理论由 Babuška 等完善。

结构应力分析（汽车碰撞、桥梁）、流体力学仿真、电磁场计算、生物医学的骨骼与血流建模。

有限元基函数：帽子函数的弱形式舞台拖 n 细分网格：试函数与检验函数都站在「帽子」基上

单元个数5