概念

插值与逼近

拉格朗日插值通过已知点构造多项式但高次会振荡，样条插值分段低次保证光滑，最小二乘拟合在数据有噪声时最优。

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插值与逼近计算数学

01定义

用简单函数逼近未知函数：拉格朗日插值过所有已知点，但高次会龙格振荡；样条分段低次保光滑；数据有噪声时最小二乘拟合放弃精确过点换取稳健——逼近论是数值分析的「函数观」。

三种逼近：振荡的插值、光滑的样条、稳健的拟合

等距节点的高次插值在区间端点剧烈振荡（ $1/(1+25x^2)$ 反例）；切比雪夫节点（余弦分布）使误差界 $\propto\rho^{-n}$ 指数衰减——节点的位置决定逼近的命运。

三次样条在节点处二阶导连续，是「最光滑」的分段三次插值（能量最小性质）；B 样条基的局部支撑使其成为 CAD 与图形学的标准曲线表示。

超定方程 $Ax\approx b$ 的法方程 $A^TAx=A^Tb$ （或用 QR 避免平方条件数）；勒让德/切比雪夫正交基使法方程对角化——「正交化」是逼近计算的万能钥匙。

p(x)=\sum_{k}f(x_k)L_k(x),\quad \min\textstyle\sum_i(f(x_i)-p(x_i))^2

拉格朗日 1795 年给出插值公式；龙格 1901 年发现高次插值振荡；舍恩贝格 1946 年引入样条概念，样条理论在 1960-70 年代成熟。

CAD 曲面造型（NURBS）、数值气象的再分析插值、统计学的平滑样条回归、信号重构与图像缩放。

拉格朗日插值与龙格现象增多等距节点：两端振荡反而加剧

n 节点数6