概念

鞅测度

风险中性定价原理：在等价鞅测度下贴现资产价格是鞅，Girsanov 定理实现测度变换，期权价格即贴现收益的条件期望。

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鞅测度金融数学

01定义

风险中性定价的第一原理：无套利市场中存在等价鞅测度

Q

，使折现资产价格成为鞅，衍生品价格 =

Q

下折现收益的条件期望。Girsanov 定理实现测度变换——定价从「预测未来」转为「变换概率」，这是金融数学最深的思想转折。

测度变换：从真实世界走向风险中性世界

新测度 $dQ/dP=\exp(-\int\theta dW-\frac12\int\theta^2dt)$ 下 $\tilde W=W+\int\theta dt$ 是布朗运动：漂移被换掉、波动率不变——选择 $\theta$ 把风险溢价「搬走」。

BS 模型中 $Q$ 唯一 $\Rightarrow$ 每个衍生品可复制、价格唯一；随机波动率或跳跃模型中 $Q$ 不唯一 $\Rightarrow$ 价格区间 + 风险溢价参数需市场标定。

Feynman-Kac：鞅期望 = PDE 解。蒙特卡洛（模拟 $Q$ 路径）、有限差分（解 PDE）、树模型（离散鞅）三种数值方法殊途同归。

\frac{dQ}{dP}=\mathcal{E}\!\left(-\textstyle\int\theta\,dW\right),\quad V_t=E^Q[e^{-r(T-t)}H\mid\mathcal{F}_t]

哈里森与克雷普斯 1979 年建立无套利-鞅测度等价框架；德尔谢里与施魏策 1990 年代完善半鞅一般理论；该框架成为现代衍生品定价的标准语言。

利率衍生品（互换、帽）定价、信用违约互换（CDS）、外汇期权、对冲基金的相对价值策略建模。

二叉树：风险中性测度下的鞅定价改变 u、d：风险中性概率 q 自动调整，使贴现股价期望恒等于 S₀(1+r)

u 上行因子1.25d 下行因子0.80r 无风险利率0.03