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Black-Scholes

1973 年的开山公式：在几何布朗运动假设下给出欧式期权价格的闭式解，把定价化为求解抛物型 PDE，获 1997 年诺贝尔经济学奖。

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Black-Scholes金融数学

01定义

Black-Scholes 公式在几何布朗运动假设下给出欧式期权的闭式价格：定价化为抛物型 PDE，对冲消去随机性后只剩无套利论证。1973 年的这篇论文开创了定量金融时代，1997 年获诺贝尔经济学奖——数学公式第一次直接定价了市场。

BS 价格曲线：到期时贴合折线收益

构造组合 $V-\Delta S$ 并选 $\Delta=V_S$ 消去 $dW$ 项：组合瞬时无风险 $\Rightarrow$ 收益必等于利率（否则套利）——定价 PDE 由此诞生，无需预测股价方向。

$C=S\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2)$ ；Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho 是五个敏感度：做市商按希腊字母分层对冲，波动率微笑暴露模型假设的裂缝。

常数波动率与连续对冲两大假设皆不成立：肥尾、跳跃、流动性在 1987 年与 2008 年给出教训；局部波动率、随机波动率（Heston）、跳跃-扩散模型层层修补。

C=S_0\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2)

巴舍利耶 1900 年博士论文已用布朗运动定价（被遗忘七十年）；布莱克、斯科尔斯 1973 年与默顿同年给出对冲论证，默顿与斯科尔斯获 1997 年诺贝尔经济学奖。

交易所期权做市与定价、员工期权估值（会计准则）、结构化产品的嵌入期权分解、隐含波动率指数 VIX 的构造。

Black-Scholes：期权价格与时间价值调整波动率与期限：期权价格高于到期 payoff

K 执行价100σ 波动率0.30T 期限1.00