概念

纳什均衡

任何参与者单方面改变策略都无法获益的策略组合，纳什 1950 年用不动点定理证明混合策略均衡存在，是博弈论的基石概念。

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纳什均衡博弈论

01定义

纳什均衡是策略组合中的「相互最优反应」：给定他人策略，无人能通过单方面改变获益。纳什 1950 年用角谷不动点定理证明混合策略均衡必存在——理性个体的策略博弈总有稳定解，这一结论重塑了经济学。

囚徒困境：唯一的纳什均衡对双方都不最优

混合策略空间是紧凸集、最优反应映射是上半连续凸值映射 $\Rightarrow$ 角谷不动点定理保证均衡存在；纯策略均衡可能不存在（石头剪刀布），混合策略补足。

均衡不唯一（性别之战有两个）且不必然有效（囚徒困境）；精炼概念层层筛选：子博弈完美、 trembling-hand 完美、演化稳定——每个精炼都排除一种「脆弱」的均衡。

寻找纳什均衡是 PPAD 完全问题（Daskalakis 等 2009）：存在性有保证但计算困难——「理性主体能收敛到均衡吗」至今是开放问题。

u_i(s_i^{*},s_{-i}^{*})\geq u_i(s_i,s_{-i}^{*})\ \ \forall s_i,\ \forall i

冯·诺依曼 1928 年证明零和博弈极小极大定理；纳什 1950 年 27 页博士论文把均衡推广到任意有限博弈，1994 年与海萨尼、泽尔腾共获诺贝尔经济学奖。

产业组织与反垄断分析、拍卖与频谱牌照设计、网络协议的行为分析、生物进化中的行为策略研究。

性别战：混合策略纳什均衡拖 q：两条收益线的交叉处（q=0.4）双方选择无差别，即混合均衡

q 对方选足球概率0.40