概念

代数几何码

Reed-Solomon 码在有限域上构造并广泛用于 QR 码与磁盘存储，LDPC 码与 Polar 码逼近香农极限，Polar 码已用于 5G 标准。

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代数几何码信息论与编码

01定义

现代纠错码用深刻的代数结构逼近香农极限：Reed-Solomon 码在有限域多项式上构造、达到 Singleton 界，是 QR 码与存储的纠错主力；LDPC 与 Polar 码逼近容量极限，Polar 码已进入 5G 标准——代数几何为编码提供无穷弹药。

三代明星码：RS、LDPC、Polar

消息视为有限域上多项式系数，码字 = 多项式在 $n$ 点的取值： $d=n-k+1$ 达到 Singleton 界。Berlekamp-Massey 译码高效；QR 码能遮挡 30% 仍可读全靠它。

Tanner 图上的消息传递迭代译码：Gallager 1962 年发明、被遗忘三十年后 MacKay 1996 年重新发现——稀疏图 + 迭代 = 逼近容量的通用配方。

Arıkan 2009 年用信道极化（ $n$ 个拷贝信道分裂为近完美与近无用）给出第一个可证明达到容量的显式构造——从存在性定理到构造性定理的里程碑。

d=n-k+1\ (\text{MDS}),\quad I(W^+)\to 1,\ I(W^-)\to 0\ (\text{极化})

Reed 与 Solomon 1960 年提出 RS 码；Gallager 1962 年博士论文发明 LDPC；Arıkan 2009 年提出 Polar 码，2016 年 Polar 码被 3GPP 采纳为 5G 控制信道编码。

QR 码与蓝光光盘（RS）、Wi-Fi 与 DVB-S2（LDPC）、5G 控制信道（Polar）、深空探测的级联码（RS + 卷积）。

Hermitian 曲线码：曲线上点的函数求值码字 = 函数在曲线 x³ = y²+y 的 8 个 F₄-有理点上的求值向量

函数 f0