概念

射影簇

射影空间加入无穷远点使交点计数整齐（贝祖定理），齐次坐标统一处理「平行线相交于无穷远」。

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射影簇代数几何

01定义

射影空间

\mathbb{P}^n

在仿射空间外加入「无穷远点」：齐次坐标

[x_0:\cdots:x_n]

按比例等价。平行线在无穷远处相交，交点计数由此整齐——贝祖定理说

m

次与

n

次曲线恰交于

mn

点（计重数、含无穷远）。

射影平面中，平行线相交于无穷远直线上的同一点

$[x_0:\cdots:x_n]$ 与 $[\lambda x_0:\cdots:\lambda x_n]$ 视为同一点；定义方程必须是齐次多项式，射影簇即其零点集。

两条无公共分支的曲线，交点数恰为次数之积（计重数、计无穷远点）——射影完备性使「交点个数」成为不变量。

射影簇是「完备」的（类比紧空间）：像必闭、极值存在；代数几何中的紧化操作几乎都靠射影化完成。

\mathbb{P}^n=(k^{n+1}\setminus\{0\})/k^\times

\#(C_1\cap C_2)=mn\quad(\text{贝祖定理})

透视法催生射影思想（15 世纪布鲁内莱斯基）；彭赛列 1822 年《图形的射影性质》创立射影几何；意大利学派用射影方法大规模分类代数曲面。

计算机视觉的相机模型本质是射影几何（单应矩阵、极线几何）；3D 重建与增强现实的位姿估计都工作在射影框架下。

射影簇：Bézout 定理与无穷远点直线与三次射影曲线恰交 3 点（含无穷远点 O=(0:1:0)）

直线斜率（tan）1.15