概念

排列与组合

加法原理处理「分类」、乘法原理处理「分步」，排列与组合是计数的基础构件，二项式定理揭示 (a+b)^n 展开系数恰为组合数。

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排列与组合组合数学

01定义

加法原理处理「分类」、乘法原理处理「分步」；排列（有序选取）与组合（无序选取）是计数世界的基本构件。二项式定理揭示

(a+b)^n

的展开系数恰为组合数——计数与代数在此交汇。

杨辉三角：组合数满足帕斯卡递推

分类相加、分步相乘： $n$ 类方案共 $\sum n_i$ 种， $k$ 步流程共 $\prod n_i$ 种——一切计数公式都可回溯到这两个原理。

排列 $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ （讲顺序），组合 $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ （不讲顺序）；对称性 $\binom nk=\binom n{n-k}$ 常大幅简化计数。

$(a+b)^n=\sum\binom nk a^{n-k}b^k$ ：展开系数即组合数——「选哪些位置放 $b$ 」的计数直接给出系数，代数与计数互译。

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k

\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}

贾宪（11 世纪）与杨辉（1261）记载二项式系数三角；帕斯卡 1654 年系统研究并用于概率论；组合计数成为概率与统计的算术根基。

密码学中密钥空间大小估算、统计学的抽样分布、生物信息学的序列比对计数——「有多少种可能」是一切量化分析的第一步。

排列 P(n,k) 与组合 C(n,k) 的增长对数刻度下对比有序排列与无序组合的差距

n 元素数8k 选取数3