概念

柯西序列

把实数定义为有理柯西序列的等价类，即「收敛对象本身」，该方法推广为任意度量空间的完备化，是分析学的通用技巧。

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柯西序列数系理论

01定义

柯西序列是「自身趋于稳定」的序列：任意远处之后项彼此任意接近。把有理柯西序列按极限相同取等价类，即得实数——「收敛对象本身」被造出，该方法推广为任意度量空间的完备化。

柯西序列：振荡收缩，项间距离趋于 0

$\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ m,n>N\Rightarrow|x_m-x_n|<\varepsilon$ ——只涉及序列自身，不需预先知道极限。

有理柯西序列按「差趋于 0」取等价类，类即实数；运算逐项定义且良定。 $\mathbb{R}$ 由此完备：每个柯西列都收敛。

同一构造推广： $p$ -进数（ $\mathbb{Q}$ 按 $p$ -进度量完备化）、巴拿赫空间完备化、概形的形式完备化——「柯西等价类」是通用工具。

\mathbb{R}=\{\text{有理柯西列}\}/\{(a_n)\sim(b_n):a_n-b_n\to 0\}

柯西 1821 年《分析教程》以收敛性判据严格化微积分；1872 年康托尔与梅雷先后以柯西列构造实数，与戴德金分割同年问世。

数值分析中迭代法收敛判定（不必知道解）； $p$ -进数在费马大定理证明中的核心角色；完备度量空间是泛函分析的基本舞台。

柯西序列：间距收敛于零aₙ = 1/n：对任意 ε，N 之后任意两项距离 < ε

ε0.30