概念

哈密顿向量场

每个哈密顿函数决定一个保持辛形式的向量场（哈密顿流），运动方程就是哈密顿流的微分方程。

所属主题：辛几何 ↗

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先修概念

拉格朗日子流形辛几何辛流形辛几何

当前概念

哈密顿向量场辛几何

进阶概念

动量映射与约化辛几何分析力学数学物理经典力学辛几何

01定义

每个函数

H

经辛形式唯一生成一个向量场

X_H

：

\iota_{X_H}\omega=dH

。其积分曲线就是哈密顿方程描述的力学轨迹；流

\varphi_t

保持

\omega

（辛同胚），能量

H

沿轨道守恒。

哈密顿流沿等能线运动：每条绿线是一条轨道，H 沿其不变

02核心要点

生成方程

在达布坐标下 $X_H=\sum(\frac{\partial H}{\partial p_i}\partial_{q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\partial_{p_i})$ ，积分曲线恰是哈密顿正则方程 $\dot q=\partial_p H,\ \dot p=-\partial_q H$ 。

保辛与守恒

流 $\varphi_t$ 满足 $\varphi_t^*\omega=\omega$ （刘维尔定理的几何形式）；且 $\frac{d}{dt}H=\{H,H\}=0$ ——能量守恒是反对称括号 $\{H,H\}=0$ 的直接推论。

泊松括号

$\{f,g\}=\omega(X_f,X_g)$ 使函数空间成为李代数： $X_{\{f,g\}}=-[X_f,X_g]$ ，对称性与守恒律在此代数中对话。

03关键公式

\iota_{X_H}\omega=dH

\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\quad\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}

04历史沿革

哈密顿 1833 年以特征函数统一光学与力学；刘维尔 1838 年证明相体积守恒；20 世纪辛流形观点（Arnold 等）把哈密顿力学整理为几何语言。

05应用与延伸

天体力学轨道数值积分使用辛积分器（长期保能量）；分子动力学、粒子加速器束流模拟均以哈密顿流为基础模型。

06交互演示

哈密顿向量场 X_H=(∂H/∂p, −∂H/∂q) 与等高线相切谐振子 H=p²/2+ω²q²/2：向量场沿椭圆能量线流动

ω 频率1.00

07相关概念

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