概念

互反律

Artin 互反律把阿贝尔扩张的伽罗瓦群同构于广义理想类群，是数论的最高成就之一。

所属主题：代数数论 ↗

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先修概念

戴德金环代数数论

当前概念

互反律代数数论

进阶概念

Hilbert类域代数数论二次互反律初等数论勒让德符号初等数论法尔廷斯定理算术几何

01定义

阿廷互反律：数域

K

的阿贝尔扩张

L/K

的伽罗瓦群同构于

K

的广义理想类群——素理想按理想类「领取」弗罗贝尼乌斯自同构。二次互反律是其

[L:K]=2

的特例，朗兰兹纲领是其非阿贝尔化的宏愿。

互反律：算术侧与伽罗瓦侧的同构

02核心要点

弗罗贝尼乌斯元素

非分歧素理想 $\mathfrak{p}$ 对应唯一的 $\mathrm{Frob}_\mathfrak{p}\in\mathrm{Gal}(L/K)$ （作用在剩余域上为 $x\mapsto x^{N\mathfrak{p}}$ ）； $\mathfrak{p}$ 的分裂方式由 $\mathrm{Frob}$ 的阶读出。

从克罗内克到阿廷

克罗内克的「青春之梦」（复乘理论）是雏形；阿廷 1927 年证明一般互反律，一举统一全部已知阿贝尔互反——希尔伯特第九问题的解答。

类域论全景

互反律 + 存在定理（每个广义理想类群的商对应唯一阿贝尔扩张）= 完整类域论；Hilbert 类域、射线类域是其特例。

03关键公式

\mathrm{Gal}(L/K)\cong C_K/N_{L/K}C_L\quad(\text{阿贝尔扩张})

04历史沿革

高斯二次互反（1796）→ 希尔伯特互反符号（1897）→ 高木贞治存在定理（1920）→ 阿廷互反律（1927）；岩泽、阿廷之子迈克尔继续完善。

05应用与延伸

阿贝尔扩张的完整分类、互反律作为朗兰兹纲领的 $n=1$ 情形、费马大定理证明中伽罗瓦表示思想的源头、计算数论中分裂类型的判定。

06交互演示

二次互反律：Legendre 符号对称表拖 n 扩大素数表：(q|p)·(p|q) 的正负完全由 p、q 的同余类决定

素数个数6

07相关概念

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