概念

数域

数域是有理数域的有限扩张，嵌入（实/复）刻画其算术信息，是数论问题的自然工作环境。

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数域代数数论

01定义

数域是有理数域

\mathbb{Q}

的有限扩张

K=\mathbb{Q}(\alpha)

：在其中做算术，就要面对新的「整数」、新的素数分裂方式与新的对称群（伽罗瓦群）。实嵌入与复嵌入刻画数域的几何面貌，是数论问题的自然栖息地。

塔式扩张：数域层层叠在 Q 之上

任何数域 $K/\mathbb{Q}$ 都是单扩张 $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ ： $\alpha$ 的极小多项式次数即扩张次数 $[K:\mathbb{Q}]$ ，其根给出全部嵌入。

$r_1$ 个实嵌入 + $r_2$ 对复嵌入满足 $r_1+2r_2=[K:\mathbb{Q}]$ ；签名 $(r_1,r_2)$ 影响单位群秩（狄利克雷单位定理）与 ζ 函数的函数方程。

$K/\mathbb{Q}$ 的自同构构成伽罗瓦群；非交换伽罗瓦群的存在（如 $S_3$ ）是五次方程无根式解的根源，也是朗兰兹纲领中「非阿贝尔互反」的起点。

K=\mathbb{Q}(\alpha),\quad [K:\mathbb{Q}]=\deg m_\alpha=r_1+2r_2

高斯研究二次域（虚二次域类数问题）；库默尔 1840 年代为费马大定理引入「理想数」；戴德金以理想取代理想数，克罗内克平行发展——代数数论正式成形。

密码学的代数曲线定义域选择、编码理论的有限域与数域筛法（大整数分解）、费马大定理证明中的伽罗瓦表示、镜像对称中的算术结构。

数域 Q(√2)：范数与佩尔方程N(a+b√2)=a²−2b²：范数为 1 的整数即佩尔方程解

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