概念

整数环

代数整数构成整数环，判别式度量其「大小」，整基是其加法群的结构基。

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整数环代数数论

01定义

数域

K

中的代数整数（首一整系数多项式的根）构成整数环

\mathcal{O}_K

：它是

\mathbb{Z}

在

K

中的替身，却未必唯一分解。整基给出其加法结构，判别式度量其「粗细」。

整数环 = 嵌入空间中的格：整基撑起格点

$\mathcal{O}_K$ 是秩 $[K:\mathbb{Q}]$ 的自由 $\mathbb{Z}$ -模；判别式 $\Delta_K=\det(\sigma_i\omega_j)^2$ 是整数不变量，其素因子恰是分歧素数。

在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中 $6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ ：两种「素因子」分解不可调和——费马当年踩过的坑，催生理想理论。

有理素数 $p$ 在 $\mathcal{O}_K$ 中分裂、惯性或分歧，由极小多项式模 $p$ 的分解决定（戴德金判别法）——素数在数域中「变形记」。

\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}\omega_1\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}\omega_n,\quad \Delta_K=\det(\sigma_i(\omega_j))^2

库默尔 1847 年以「理想数」补救费马大定理的失败证明；戴德金 1871 年以理想取代理想数；诺特将其公理化为现代交换代数的一部分。

数域筛法（分解 RSA 大整数的最强算法）的核心代数、格密码（LWE）的代数格构造、椭圆曲线复乘理论、代数编码的环结构。

Z[√−5]：6 的两种不可约分解6 = 2·3 = (1+√−5)(1−√−5)：理想类非平凡，非 UFD

分解选择0