概念

佩尔方程

x² - Dy² = 1 有无穷多组整数解，解由基本解与连分数生成，是二次域单位理论的入口。

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佩尔方程初等数论

01定义

x^2-Dy^2=1

（

D

非平方正整数）总有无穷多组正整数解：基本解由

\sqrt{D}

的连分数展开给出，其余解由

x_1+y_1\sqrt{D}

的幂次生成——二次域

\mathbb{Q}(\sqrt{D})

单位群的完整肖像。

双曲线上的整数点：幂次生成无穷解

$\sqrt{D}$ 的连分数循环节长为 $m$ ：第 $m-1$ （或 $2m-1$ ）个渐近分数即基本解； $D=61$ 时基本解高达 $(1766319049, 226153980)$ ——印度数学家 12 世纪已然掌握。

全部正解由 $(x_1+y_1\sqrt{D})^n$ 生成：范数 1 元素的乘法封闭性使解构成无限循环群——二次域单位群的秩 1 实例。

佩尔方程是单位定理的雏形：数域单位群 $\cong$ 有限群 $\times\mathbb{Z}^r$ ， $r=r_1+r_2-1$ ；实二次域 $r=1$ ，故解群循环。

x_n+y_n\sqrt{D}=(x_1+y_1\sqrt{D})^{n},\quad n=1,2,\dots

阿基米德「牛问题」已含其雏形；印度婆罗摩笈多（7 世纪）与婆什迦罗二世（12 世纪）给出循环算法；费马 1657 年向欧洲发难，欧拉误将沃利斯的学生佩尔冠名。

丢番图逼近（ $\sqrt{D}$ 的最佳有理逼近）、二次域单位群的计算、整数分解的连分数方法、希尔伯特第十问题不可判定性证明中的指数函数编码。

佩尔方程：x² − n·y² = 1 的整数解增大 n，观察格点整数解变得越来越稀有

n 系数2