概念

理想类群

分式理想模主理想构成理想类群，类数是有限群的阶，度量唯一分解的失败程度。

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理想类群代数数论

01定义

分式理想模主理想构成理想类群

\mathrm{Cl}(K)

——一个有限阿贝尔群，其阶

h_K

（类数）精确度量

\mathcal{O}_K

偏离唯一分解的程度：

h_K=1\iff

唯一分解。类数问题是代数数论最迷人的悬案之一。

类群 = 分解失败的商群

每个理想类含范数受闵可夫斯基界控制的代表理想——类群有限；几何视角：类群对应格点空间中「等价格」的分类。

高斯猜想虚二次域类数为 1 的判别式恰 9 个；海尔布隆 1934 年证类数趋于无穷，贝克-施塔克-海格纳确定完整名单——百年悬案的接力赛。

戴德金类数公式把 $h_K$ 与 $\zeta_K(s)$ 在 $s=1$ 的留数联系起来（含 regulators 与单位）——算术不变量的解析窗口，BSD 猜想的远祖。

\mathrm{Cl}(K)=\frac{\{\text{分式理想}\}}{\{\text{主理想}\}},\quad h_K=|\mathrm{Cl}(K)|

库默尔的理想数、戴德金的理想群奠基；高斯类数猜想经海尔布隆（1934）与贝克、斯塔克、海格纳（1966-67）解决；岩泽理论将类群组织成无穷塔。

库默尔判据（正则素数与费马大定理）、岩泽主猜想（已证）、类群在密码学中的应用（虚二次域类群的 Diffie-Hellman 变体）。

Z[√−5] 的理想：主理想 vs 非主理想换 stage：同一环里 (2) 是主理想，(2,1+√−5) 却不可由单个元素生成

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