概念

素数定理

π(x) ~ x/log x：素数在整数中渐近稀疏，由阿达玛与德·拉·瓦莱-普桑 1896 年证明。

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素数定理解析数论

01定义

\pi(x)\sim x/\log x

：素数的平均密度以

1/\log x

的速率缓慢衰减。高斯 15 岁的猜想，阿达玛与德·拉·瓦莱-普桑 1896 年独立证明——关键一步是排除 ζ 函数在

\mathrm{Re}\,s=1

上的零点。

素数阶梯函数渐近于 x/log x

由 $-\zeta'/\zeta$ 的佩龙公式把 $\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$ 写成零点求和； $\zeta(1+it)\neq 0$ 这一「无零点边线」给出主项 $x$ ，即素数定理。

塞尔伯格与艾狄胥 1949 年给出不依赖复分析的初等证明（塞尔伯格恒等式）——技术上更难但不更深刻，解析方法仍给出更强的误差项。

对数积分 $\mathrm{li}(x)$ 是比 $x/\log x$ 更精细的近似；黎曼假设等价于 $\pi(x)=\mathrm{li}(x)+O(\sqrt{x}\log x)$ ——素数分布的终极误差控制。

\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\quad(x\to\infty),\qquad \mathrm{li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log t}

高斯 1792 年（15 岁）凭素数表猜想；勒让德同期提出类似估计；黎曼 1859 年指出证明必经 ζ 零点；阿达玛与德·拉·瓦莱-普桑 1896 年独立完成证明。

密码学的素数生成效率（随机 n 位数是素数的概率约 $1/\ln n$ ）、哈希表素数尺寸选择、数论算法的复杂度分析、哥德巴赫与孪生素数问题的密度启发。

π(x) 与 x/ln x 渐近相等增大 x：阶梯状的素数计数函数与光滑曲线越贴越近

x 上限100