概念

二次互反律

高斯称为「黄金定理」：两个奇素数互相是否为二次剩余由它们的同余类决定，至今有二百多个证明。

所属主题：初等数论 ↗

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先修概念

勒让德符号初等数论

当前概念

二次互反律初等数论

进阶概念

佩尔方程初等数论互反律代数数论局部-整体原理代数数论

01定义

高斯的「黄金定理」：对奇素数

p\neq q

，

\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}

。两个素数「互为平方」与否只差一个由同余类决定的符号——把二次剩余判定变成翻转游戏，至今有 200 多个证明。

互反律：两个勒让德符号互为镜像

02核心要点

翻转算法

配合补充律 $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}$ 、 $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ 与乘积性，任何 $\left(\frac{a}{p}\right)$ 可如辗转相除般递归翻转算出——二次版的欧几里得算法。

高斯引理

数 $a,2a,\dots,\frac{p-1}{2}a$ 模 $p$ 后落入 $(p/2,p)$ 的个数 $\mu$ ，则 $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^\mu$ ：几何计数给出符号的初等定义。

高次与类域论

二次互反是幂互反律（ $m$ 次剩余）的 $m=2$ 特例；阿廷互反律将其推广到一切阿贝尔扩张——一个定理长成整个类域论。

03关键公式

\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}

04历史沿革

欧拉、勒让德凭数值归纳猜想；高斯 1796 年（19 岁）给出首个证明，一生给出 8 个，称其为「算术中的宝石」；此后艾森斯坦、克罗内克、希尔伯特直至现代证明超 200 个。

05应用与延伸

二次剩余的快速判定、阿廷符号与类域论、朗兰兹纲领中互反律的推广、密码学中雅可比符号（Solovay-Strassen 检验）的计算。

06交互演示

(p/q)(q/p) = (−1)^{((p−1)/2)((q−1)/2)}勒让德符号：金=平方剩余；青圈=另一个素数的位置

素数 p7素数 q11

07相关概念

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