概念

广义线性模型

逻辑回归（分类）与泊松回归（计数）通过连接函数把线性预测与响应分布联系起来。

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广义线性模型应用统计

01定义

广义线性模型（GLM）把回归推广到非正态响应：响应属指数族分布，连接函数

g

把均值与线性预测器

\eta=X\beta

相连。逻辑回归（分类）与泊松回归（计数）是两大明星成员。

GLM 架构：线性预测器经连接函数映射到均值

正态、二项、泊松、Gamma 皆可写 $f(y;\theta)=\exp\{(y\theta-b(\theta))/a(\phi)+c\}$ ； $b'(\theta)=\mu$ 、 $b''$ 给方差函数——一个框架装下常用分布。

$\log\frac{p}{1-p}=X\beta$ ：优势比 $e^{\beta_j}$ 是流行病学的通用语言；极大似然拟合（IRLS 迭代），无解析闭式解。

偏差（deviance）替代残差平方和： $-2\log$ 似然比渐近卡方；过离散时泊松换负二项——计数的常见坑。

g(\mu_i)=x_i^T\beta,\quad \log\frac{p}{1-p}=X\beta\ (\text{logit})

奈德与韦德伯恩 1972 年提出 GLM 统一框架；麦卡洛与奈德的《广义线性模型》（1989）成为标准参考；逻辑回归经考克斯 1958 年奠基。

信用评分与疾病风险预测、保险费率（Gamma 回归）、A/B 测试的二项响应分析、生态学物种计数建模。

Logistic 回归：广义线性模型的连接函数调整系数：S 形曲线把线性预测映射到 (0,1)

b₀ 截距0.00b₁ 斜率1.50