概念

谱分析

周期图估计序列的谱密度，频率域方法识别周期成分，与 ARIMA 互为表里。

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谱分析应用统计

01定义

谱分析把时间序列搬到频率域：谱密度是自协方差的傅里叶变换，周期图是它的样本版本。时域的相关结构 ↔ 频域的功率分布——周期成分在谱峰下无处遁形。

频域透镜：周期成分显形为谱峰

$f(\omega)=\frac{1}{2\pi}\sum_k\gamma(k)e^{-ik\omega}$ ：谱密度非负且积分为方差；ARMA 过程有有理谱密度——时域参数与频域形状互译。

裸周期图不随样本量收敛（方差爆表）：需平滑（Welch 分段平均）或参数化估计——谱估计的核心权衡是分辨率 vs 方差。

去季节化（滤除年周期）、带通滤波（分离慢趋势与快波动）、小波推广到非平稳谱——天文的恒星脉动、脑电的节律分析皆用此镜。

f(\omega)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\gamma(k)e^{-ik\omega}

傅里叶 1807 年的级数思想；舒斯特 1898 年引入「周期图」术语研究太阳黑子；图基 1960 年代与 FFT 共同推动现代谱估计。

气象气候的周期识别（米兰科维奇循环）、语音与音频处理、金融波动率的频域分析、射电天文信号处理。

谱分析：时域信号 → 功率谱调整两个正弦频率，谱峰位置随之移动

频率 f₁2.00频率 f₂5.00