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条件概率

贝叶斯公式、全概率公式与独立性是条件推理的三件套，贝叶斯公式是统计推断的核心。

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条件概率概率论

01定义

条件概率

P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)

量化「已知

B

发生后

A

的可能性」。全概率公式分解复杂事件，贝叶斯公式逆转条件方向——从结果反推原因，是统计推断与机器学习的核心引擎。

条件化：把样本空间收缩到已知事件 B 内

若 $B_1,B_2,\dots$ 分割 $\Omega$ ，则 $P(A)=\sum P(A\mid B_i)P(B_i)$ ：按原因分类计算，是贝叶斯公式的分母。

$P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{\sum_j P(A\mid B_j)P(B_j)}$ ：先验 × 似然 $\to$ 后验；医学检测的假阳性悖论全靠它澄清。

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 定义独立：已知 $B$ 不改变 $A$ 的概率；独立性是极限定理与统计模型可解性的前提。

P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)\,P(B)}{P(A)}

贝叶斯 1763 年遗作由普莱斯发表；拉普拉斯 1774 年独立发现并推广；20 世纪贝叶斯学派（萨维奇、德菲内蒂）将其发展为完整推断哲学。

垃圾邮件过滤（朴素贝叶斯）、医学诊断的阳性预测值、贝叶斯深度学习、司法中的证据权重计算（需注意检察官谬误）。

三门问题：坚持 vs 换门增大模拟次数：换门胜率稳定在 2/3，坚持只有 1/3——条件概率在作祟

N 模拟次数300