概念

大数定律

弱大数律（依概率收敛）与强大数律（几乎必然收敛）保证样本均值趋于期望，是统计与蒙特卡洛的基础。

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大数定律概率论

01定义

样本均值

\bar{X}_n

随

n\to\infty

稳定于期望

\mu

：弱大数律依概率收敛，强大数律几乎必然收敛。频率稳定于概率——概率论与统计实践之间的第一座桥。

频率收敛于概率：掷硬币实验的轨迹

弱大数律： $P(|\bar{X}_n-\mu|>\varepsilon)\to 0$ （切比雪夫不等式一行搞定）；强大数律： $\bar{X}_n\to\mu$ 几乎必然（柯尔莫哥洛夫 1933，证明深得多）。

无方差条件时弱律仍成立（辛钦定理，只需期望）；收敛快慢由方差控制： $\mathrm{Var}(\bar{X}_n)=\sigma^2/n$ ——蒙特卡洛误差 $O(1/\sqrt{n})$ 的来源。

柯西分布无期望，大数律失效：样本均值与单次观测同分布。定律的前提（矩存在）不是装饰。

\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow[n\to\infty]{\text{a.s.}}\mu

雅各布·伯努利 1713 年遗著《猜度术》证明二项情形的弱律（「黄金定理」）；切比雪夫 1867 年推广；柯尔莫哥洛夫 1933 年证强大数律。

蒙特卡洛积分的理论保证、保险公司的长期盈亏平衡、机器学习中经验风险最小化、民意调查误差范围（ $1/\sqrt{n}$ 律）。

抛硬币：频率 → 概率增大 N：前几次大起大落的频率曲线，逐渐被「钉」在 0.5 附近

N 抛掷次数300