概念

连续时间马氏过程

生成元 Q 是转移半群的「导数」，Kolmogorov 前向/后向方程描述概率随时间的演化。

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连续时间马氏过程随机过程

01定义

连续时间马尔可夫链以指数分布的等待时间加离散的跳转结构运行：生成元

Q

是转移半群

P(t)=e^{Qt}

的「导数」。柯尔莫哥洛夫前向/后向方程描述概率流的演化——泊松过程与生灭过程是典范。

指数等待 + 瞬时跳转：连续时间链的骨架

无记忆性强制等待时间为指数分布：状态 $i$ 处停留 $\mathrm{Exp}(\lambda_i)$ 后按嵌入链选择下一状态——连续与离式的拼接。

$Q$ 的行和为零、非对角非负； $P(t)=e^{Qt}$ 满足查普曼-柯尔莫哥洛夫方程，前向方程 $\dot p=pQ$ 是概率的连续性方程。

只相邻跳转的链：M/M/1 排队、种群出生死亡模型；平稳分布由细致平衡 $\pi_i\lambda_i=\pi_{i+1}\mu_{i+1}$ 递推得出。

P(t)=e^{Qt},\quad \frac{d}{dt}p_j(t)=\sum_ip_i(t)q_{ij}

泊松过程由西梅翁·泊松 1837 年研究；柯尔莫哥洛夫 1931 年给出前向/后向方程；杜布、费勒完善一般理论；生灭过程经卡拉法塔斯与麦格雷戈系统化。

排队论（M/M/1、M/G/k）、可靠性工程（故障-修复模型）、种群动力学、化学主方程与反应网络。

泊松过程：指数间隔的计数路径改变 λ：到达更频繁，相邻到达间隔 iid Exp(λ)

λ 到达率1.50