概念

性质

二次变差 ⟨W⟩_t=t 使伊藤积分成为可能，尺度不变性与鞅性是布朗运动的核心性质。

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性质随机过程

01定义

布朗运动的性质清单定义了整个随机分析的语法：独立增量、鞅性、尺度不变性

c^{-1/2}W_{ct}\overset{d}=W_t

、强马尔可夫性、零一二律。每条性质都是一类定理的发动机。

三大结构性质撑起布朗运动的定理工厂

放大时间与空间按 $\sqrt{}$ 律互偿：布朗路径无特征尺度——分形维数 $3/2$ 的图形化；也是随机矩阵与统计物理标度律的模板。

首次触 $a$ 后把路径「翻折」给出对合： $P(\max_{s\leq t}W_s\geq a)=2P(W_t\geq a)$ ——首达时密度、布朗桥、障碍期权定价共用此招。

一维、二维布朗运动常返（任意邻域必回访），三维以上暂留——波利亚随机游走定理的连续版本，「路灯下找钥匙」的数学答案。

\{c^{-1/2}W_{ct}\}_{t\geq 0}\overset{d}=\{W_t\}_{t\geq 0},\quad P(M_t\geq a)=2P(W_t\geq a)

波利亚 1921 年证随机游走回归定理；杜布系统研究鞅性质；伊藤与麦基恩 1965 年专著把布朗运动性质汇编为「扩散过程」理论。

障碍期权的解析定价、第一通过时间在神经科学的应用（积分发放模型）、搜索算法与动物觅食模型。

遍历性：时间平均 = 空间平均增大 N：平稳过程的时间平均收敛到均值 μ（各态历经定理）

N 样本数500