概念

泊松过程

速率为 λ 的泊松过程在区间内计数服从泊松分布，到达间隔 i.i.d. 指数分布，是排队论的基础。

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泊松过程随机过程

01定义

速率为

\lambda

的泊松过程

N_t

计数稀有事件的到达：区间计数

N_t-N_s\sim\mathrm{Poi}(\lambda(t-s))

，到达间隔独立同分布于

\mathrm{Exp}(\lambda)

。无记忆的到达流——排队论与可靠性理论的起点。

到达时刻与计数阶梯：泊松过程的两副面孔

增量泊松分布 $\iff$ 到达间隔 i.i.d. 指数 $\iff$ 小概率公理（ $\Delta t$ 内一次到达概率 $\lambda\Delta t+o(\Delta t)$ 、两次以上 $o(\Delta t)$ ）——任选其一出发都到达同一对象。

独立稀释：每个到达以概率 $p$ 保留，得速率 $\lambda p$ 的独立泊松过程；叠加：独立泊松过程之和仍是泊松（速率相加）——到达流的代数。

给定 $N_t=n$ ，到达时刻如同 $n$ 个独立均匀点排序——泊松过程的「空间均匀」性格，检验数据是否泊松的依据。

P(N_t=k)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!},\quad T_i\overset{\text{iid}}{\sim}\mathrm{Exp}(\lambda)

泊松 1837 年研究陪审团误判计数引入分布；朗利 1908 年用电话到达数据验证；费勒与辛钦给出严格的过程理论。

呼叫中心与服务器请求建模、放射性衰变计数、保险索赔到达、神经脉冲序列（泊松发放模型）。

泊松过程：指数间隔的到达计数到达间隔 ~ Exp(λ) 独立同分布 → N(t) ~ Poisson(λt)

强度 λ1.50