∑

数学知识体系

Observatory Archive of Mathematics
⌕2026/8/31
知识要点 · 高中数学

函数的概念与性质

必修第一册 · 高一至高三

函数三要素与表示法，单调性与最大（小）值，奇偶性，幂函数。

函数概念用集合与对应语言严格化：定义域、值域、对应关系三要素。随后系统研究单调性、奇偶性等性质，掌握研究函数的一般方法论，贯穿整个高中数学。

§ 01

函数的概念与三要素

函数是从非空数集 AA 到非空数集 BB 的对应 ff：AA 中每个元素在 BB 中有唯一象。三要素：定义域、值域、对应法则；两函数相同当且仅当三要素完全一致。定义域优先原则：任何函数问题先明确定义域（分母非零、偶次根号非负、对数真数为正）。
§ 02

单调性

定义：区间内任取 x1<x2x_1<x_2，f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2) 则递增。证明用定义三步（取值、作差、定号）或利用已知单调函数的复合规律。单调性是解不等式 f(a)>f(b)f(a)>f(b) 型问题的钥匙——脱去 ff 外衣比较自变量。
§ 03

最值

闭区间上的连续函数必有最值；二次函数在闭区间上的最值按对称轴与区间的位置关系分段讨论。单调性直接给出最值位置：单调函数在区间端点取最值。
§ 04

奇偶性

前提：定义域关于原点对称。偶函数 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，图象关于 yy 轴对称；奇函数 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称，若 00 在定义域内则 f(0)=0f(0)=0。奇偶性用于减少一半区间的讨论：已知一侧性质即可推另一侧。
§ 05

幂函数

形如 y=xαy=x^\alpha 的函数，教材研究 α=1,2,3,12,−1\alpha=1,2,3,\dfrac{1}{2},-1 五种。共性：都过点 (1,1)(1,1)；α>0\alpha>0 时在 (0,+∞)(0,+\infty) 递增。比较幂值大小、判断奇偶性是常考小题。

核心公式速查

奇偶性f(−x)=f(x) 偶, f(−x)=−f(x) 奇f(-x)=f(x)\ \text{偶},\ f(-x)=-f(x)\ \text{奇}

学习建议与易错点

  • 定义域优先是铁律：求解析式、判断奇偶、解函数不等式，第一步永远是确定定义域。
  • 奇偶性判断先看定义域是否关于原点对称，不对称直接判「非奇非偶」。
  • 抽象函数 f(x)f(x) 性质题全部回归定义：取特殊值探性质、用定义验证结论。
  • 单调性解 f(g(x))<f(h(x))f(g(x))<f(h(x))：先脱 ff（注意单调方向），再保定义域，两步都要写。