知识要点 · 高中数学

立体几何初步

必修第二册 · 高一至高三

空间几何体的结构、表面积与体积，点线面的位置关系，线面平行与垂直的判定定理与性质定理。

立体几何初步建立空间观念：认识柱锥台球的结构与度量（表面积体积），研究点线面位置关系，核心是用判定定理与性质定理处理平行与垂直两大关系，为选必一册的向量方法做铺垫。

§ 01

空间几何体的结构

棱柱：两个平行全等多边形底面 + 平行四边形侧面；棱锥：一个底面 + 共顶点侧面；圆柱圆锥圆台由旋转得到；球是半圆绕直径旋转体。识别结构特征是画直观图（斜二测画法）的基础。

§ 02

柱体

V=Sh

、锥体

V=\dfrac{1}{3}Sh

、台体

V=\dfrac{1}{3}h(S+\sqrt{SS′}+S′)

、球

V=\dfrac{4}{3}\pi r^3

、

S=4\pi r^2

。侧面展开求表面积：圆柱侧面是矩形，圆锥侧面是扇形。组合体先分割或补形再分别计算。

§ 03

空间中直线与直线：相交、平行、异面（不共面）；直线与平面：线在面内、相交、平行；平面与平面：相交、平行。异面直线的夹角通过平移转化为相交线夹角（范围

(0°,90°]

）。

§ 04

线面平行判定：面外一条直线与面内一条直线平行，则该线面平行（线线平行→线面平行）。线面平行性质：过该线作平面与已知面相交，交线与原线平行。面面平行由「一个面内两条相交直线平行于另一面」判定。

§ 05

线面垂直判定：一条直线垂直于面内两条相交直线，则垂直于该面。线面垂直推出线线垂直（垂直面内所有直线）。面面垂直判定：一个面过另一面的垂线；性质：交线的垂线在各自面内互推。三垂线定理（及其逆）是异面垂直判断的经典工具。

柱体体积

V=Sh

锥体体积

V=\dfrac{1}{3}Sh

球的体积/表面积

V=\dfrac{4}{3}\pi r^3,\ S=4\pi r^2