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数学知识体系

Observatory Archive of Mathematics
⌕2026/8/31
知识要点 · 高中数学

计数原理

选择性必修第三册 · 高一至高三

分类加法与分步乘法计数原理，排列与组合，二项式定理及其通项。

计数原理给出分类用加法、分步用乘法两大计数法则，排列与组合分别计数有序与无序的选取，二项式定理展开二项式的正整数次幂。

§ 01

两个计数原理

完成一件事若分若干类（类间互斥），方法数相加；若需依次完成几步，方法数相乘。审题先判断「分类」还是「分步」，这是计数的起点。
§ 02

排列

从 nn 个不同元素取 mm 个按序排列：Anm=n!(n−m)!A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}。特殊元素优先安排，数字问题注意首位不为 0，相邻用捆绑法、不相邻用插空法。
§ 03

组合

只选不排：Cnm=n!m!(n−m)!C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}，且 Cnm=Cnn−mC_n^m=C_n^{n-m}。组合问题常用「正难则反」（至多至少问题取补集）与分组分配思想。
§ 04

二项式定理

(a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k，通项 Tk+1=Cnkan−kbkT_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k 用于求指定项、常数项与系数；二项式系数之和为 2n2^n，奇偶项系数和各为 2n−12^{n-1}。
§ 05

常用计数策略

元素分析与位置分析相互转换；复杂问题先分类再在每类内分步；相同元素的分配用隔板法；有序与无序问题用除阶乘修正。

核心公式速查

排列数Anm=n!(n−m)!A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}
组合数Cnm=n!m!(n−m)!C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}
二项式通项Tk+1=Cnkan−kbkT_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k

学习建议与易错点

  • 计数题先写清分类标准再逐类计数，各类不重不漏，最后汇总。
  • 捆绑法把相邻元素看作一个整体参与排列，插空法把元素插入已排好元素的空档，两者方向相反不要混。
  • 二项式题先写通项 Tk+1T_{k+1}，令指数满足条件解 kk，注意 kk 从 0 开始计数。
  • 求各项系数和令 x=1x=1 代入，求二项式系数和则用 2n2^n，两个概念不要混淆。