知识要点 · 高中数学

一元函数的导数及其应用

选择性必修第二册 · 高一至高三

导数的概念与几何意义（切线斜率），基本初等函数的导数公式与运算法则，用导数研究函数的单调性、极值与最值，生活中的优化问题。

导数刻画函数的瞬时变化率，求导法则与基本公式使切线、单调性、极值、最值的计算有章可循，是研究函数性质的最强工具。

§ 01

导数的概念

f′(x_0)

是差商的极限

\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

，几何意义是曲线在

x_0

处切线的斜率，物理意义是瞬时速度。可导必连续。

§ 02

基本公式：

(x^n)′=nx^{n-1}

、

(\sin x)′=\cos x

、

(e^x)′=e^x

、

(\ln x)′=\dfrac{1}{x}

。法则：和差逐项求导，积

(uv)′=u′v+uv′

，商

\left(\dfrac{u}{v}\right)′=\dfrac{u′v-uv′}{v^2}

。

§ 03

「在点

(x_0,f(x_0))

处的切线」切点已知，斜率就是

f′(x_0)

；「过点

P

的切线」需设切点

(t,f(t))

再代入

P

点坐标求解，两种问法差别很大。

§ 04

在区间上

f′(x)>0

则函数递增、

f′(x)<0

则递减；求单调区间先定定义域再解不等式。

f′(x)=0

而不变号的点不是极值点（如

f(x)=x^3

在 0 处）。

§ 05

极值点处导数为零且变号；闭区间最值比较驻点与端点函数值。含参问题按

f′

的零点分布分类讨论；恒成立问题转化为最值问题处理。

积的求导

(uv)′=u′v+uv′

商的求导

\left(\dfrac{u}{v}\right)′=\dfrac{u′v-uv′}{v^2}