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数学知识体系

Observatory Archive of Mathematics
⌕2026/8/31
知识要点 · 高中数学

数列

选择性必修第二册 · 高一至高三

数列的概念与递推，等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，数学归纳法。

数列是定义在正整数上的函数，以等差、等比两类基本数列为核心，研究通项与求和方法，ana_n 与 SnS_n 的互化及裂项、错位相减等技巧是主线。

§ 01

数列概念与 $a_n$、$S_n$ 关系

通项公式给出第 nn 项；由前 nn 项和求通项：n=1n=1 时 a1=S1a_1=S_1，n≥2n\geq2 时 an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1}，两式能否统一须单独检验 n=1n=1。
§ 02

等差数列

通项 an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d，求和 Sn=n(a1+an)2S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}；等差中项 2an=an−1+an+12a_n=a_{n-1}+a_{n+1} 是判定依据；SnS_n 是过原点的二次式，SnS_n、S2n−SnS_{2n}-S_n、S3n−S2nS_{3n}-S_{2n} 仍成等差。
§ 03

等比数列

通项 an=a1qn−1a_n=a_1q^{n-1}，求和 Sn=a1(1−qn)1−qS_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}（q≠1q\neq1，q=1q=1 须单独讨论）；等比中项 an2=an−1an+1a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}；各项同号，公比符号与 1 的大小决定单调性。
§ 04

求和的基本方法

裂项相消（如 1n(n+1)=1n−1n+1\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}）、错位相减（等差乘等比型）、分组求和（等差加等比型）。选择方法的依据是通项的结构。
§ 05

递推数列

一阶线性递推 an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+q 用待定系数法构造等比数列；an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n) 用累加法，an+1=f(n)ana_{n+1}=f(n)a_n 用累乘法，均化归为基本数列。

核心公式速查

等差数列求和Sn=n(a1+an)2S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}
等比数列求和Sn=a1(1−qn)1−q (q≠1)S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\ (q\neq1)

学习建议与易错点

  • 由 SnS_n 求 ana_n 必验 n=1n=1：不符合就写分段形式，漏验证是最常见的丢分点。
  • 错位相减时两式对齐后相减，末项与首项单独处理，化简等比部分时细心。
  • 等比数列问题先检查公比是否为 1：含参等比常以 q=1q=1 为分类点。
  • SnS_n 的最值问题看 ana_n 的变号点：正转负处 SnS_n 取最大，负转正处取最小。