知识要点 · 高中数学

随机变量及其分布

选择性必修第三册 · 高一至高三

条件概率与全概率公式，离散型随机变量及其分布列，二项分布、超几何分布与正态分布。

随机变量把随机试验的结果数量化，分布列、二项分布、超几何分布与正态分布描述取值规律，期望与方差概括其数字特征。

§ 01

离散型随机变量的分布列

列出

X

所有可能取值及对应概率成表；两条性质：概率非负、全部概率之和为 1。求分布列先确定取值范围，再逐一求概率，最后用和为 1 检验。

§ 02

n

重独立重复试验中成功次数

X\sim B(n,p)

：

P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}

，

E(X)=np

、

D(X)=np(1-p)

。判定要点：每次独立且成功概率相同。

§ 03

从含

M

件次品的

N

件产品中不放回抽

n

件，次品数

P(X=k)=\dfrac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}

。有放回是二项分布、无放回是超几何分布，先辨模型再套公式。

§ 04

X\sim N(\mu,\sigma^2)

的密度曲线钟形、关于

x=\mu

对称；3σ 原则：落在

(\mu-\sigma,\mu+\sigma)

、

(\mu-2\sigma,\mu+2\sigma)

、

(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)

内的概率约为 68.3%、95.4%、99.7%。

§ 05

E(X)=\sum x_i p_i

反映平均水平，

D(X)=\sum(x_i-E(X))^2p_i

反映波动大小；线性性质

E(aX+b)=aE(X)+b

、

D(aX+b)=a^2D(X)

。决策题比较不同方案的期望与方差作答。

二项分布概率

P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}

超几何分布概率

P(X=k)=\dfrac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}