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数学知识体系

Observatory Archive of Mathematics
⌕2026/8/31
知识要点 · 高中数学

三角函数

必修第一册 · 高一至高三

任意角与弧度制，三角函数的概念、同角关系与诱导公式，图象与性质，两角和差公式、二倍角公式，正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)。

三角函数把角与周期性现象数学化：从任意角与弧度制出发，用单位圆定义三角函数，经诱导公式与和差倍角公式变形，最终掌握正弦型函数 y=Asin⁡(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi) 的图象分析——高考三角大题的全部素材。

§ 01

任意角与弧度制

角推广为旋转量：正角、负角、零角；终边相同的角相差 360° 的整数倍。弧度制以弧长与半径之比度量角：π rad=180°\pi\ \text{rad}=180°，弧长 l=αrl=\alpha r、扇形面积 S=12αr2S=\dfrac{1}{2}\alpha r^2（α\alpha 为弧度）。
§ 02

三角函数的定义与同角关系

单位圆定义：角 α\alpha 终边交单位圆于点 (x,y)(x,y)，则 sin⁡α=y\sin\alpha=y、cos⁡α=x\cos\alpha=x、tan⁡α=yx\tan\alpha=\dfrac{y}{x}。同角关系：sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1、tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}。「知一求二」是基本题型，注意角的象限定符号。
§ 03

诱导公式

口诀「奇变偶不变，符号看象限」：k⋅π2±αk\cdot\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha 中 kk 为奇数时正弦余弦互换，符号按原函数在该象限的正负确定。六组公式的实质是单位圆的对称性。
§ 04

图象与性质

正弦曲线：周期 2π2\pi、振幅 1；性质包括单调区间、对称轴（过最值点）、对称中心（过零点）、最值。y=sin⁡xy=\sin x 与 y=cos⁡xy=\cos x 的图象关系：余弦是正弦左移 π2\dfrac{\pi}{2}。
§ 05

和差与二倍角公式

两角和差：sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta 等；二倍角：sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha、cos⁡2α\cos 2\alpha 三形式（含降幂形式 cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}）；辅助角公式 asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+φ)a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi) 是化一求最值的核心工具。
§ 06

正弦型函数

y=Asin⁡(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi)：振幅 AA、周期 2πω\dfrac{2\pi}{\omega}、初相 φ\varphi。由图象求解析式：最高点定 AA 与 φ\varphi（五点法），相邻峰谷定周期。图象变换顺序（先平移后伸缩或反之）要写清每一步。

核心公式速查

同角平方关系sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
二倍角正弦sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
二倍角余弦cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha
辅助角公式asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+φ)a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)
正弦型周期T=2πωT=\dfrac{2\pi}{\omega}

学习建议与易错点

  • 诱导公式死背不如用单位圆对称性理解，实在要背就记「奇变偶不变，符号看象限」并每次画图验证。
  • 由图象求解析式用「最高点代 ωx+φ=π2+2kπ\omega x+\varphi=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi」最稳，五点法逐点列方程亦可。
  • 辅助角公式求最值与单调区间是解答题压轴标配：化一之后一切按 sin⁡\sin 型处理。
  • 讨论单调区间时先解 ωx+φ\omega x+\varphi 的整体范围再除以 ω\omega，ω<0\omega<0 先用诱导公式转正。