知识要点 · 高中数学

平面向量及其应用

必修第二册 · 高一至高三

向量的加减与数乘、数量积，平面向量基本定理，余弦定理与正弦定理，解三角形实际应用。

向量是沟通代数与几何的语言：既有大小又有方向的量，支持加减、数乘、数量积等运算。必修第二册以向量为工具推导余弦定理与正弦定理，完成解三角形的系统训练。

§ 01

向量的线性运算

加法：三角形法则（首尾相接）与平行四边形法则；减法：共起点、连终点、指向被减。数乘

\lambda\vec{a}

：长度变为

|\lambda|

倍，方向由

\lambda

符号定。共线（平行）判定：

\vec{b}=\lambda\vec{a}

（

\vec{a}\neq\vec{0}

）。

§ 02

平面内任一向量可唯一表示为两个不共线基底

\vec{e_1},\vec{e_2}

的线性组合。坐标化：

\vec{a}=(x,y)

后，加减数乘逐坐标运算；共线条件

x_1y_2-x_2y_1=0

；模

|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}

。

§ 03

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

；坐标形式

x_1x_2+y_1y_2

。几何意义：

\vec{a}

的模与

\vec{b}

在

\vec{a}

方向投影的乘积。应用：判垂直（数量积为零）、求夹角

\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

、求模（平方开根）。

§ 04

余弦定理

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

：已知两边夹角求第三边，或已知三边求角。正弦定理

\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R

：边角的互化工具。两定理配合覆盖解三角形全部情形。

§ 05

正弦定理的「两边与一对角」情形可能有两解（钝角判断是关键）；余弦定理求角无歧义。应用题：测量距离高度（结合方位角仰角）、面积

S=\dfrac{1}{2}ab\sin C

及其最值问题，是高考解答题的经典舞台。

数量积坐标形式

\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2

余弦定理

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

正弦定理

\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R

三角形面积

S=\dfrac{1}{2}ab\sin C

向量共线用坐标叉积 $x_1y_2-x_2y_1=0$ ，垂直用数量积为零——两条判据方向别用反。
求向量模先平方： $|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$ ，展开后再开根。
正弦定理求角出现两可时用「大边对大角」排除增解，余弦定理求角则无此问题。
基底分解题认准「不共线」前提，同一向量在不同基底下的系数不同，别混用。