∑

数学知识体系

Observatory Archive of Mathematics
⌕2026/8/31
知识要点 · 高中数学

直线和圆的方程

选择性必修第一册 · 高一至高三

直线的倾斜角与斜率，直线方程的五种形式，圆的标准方程与一般方程，直线与圆、圆与圆的位置关系。

直线和圆的方程以代数方程研究几何图形，是解析几何的入门章：斜率与方程形式刻画直线，标准方程刻画圆，位置关系全部转化为代数计算。

§ 01

倾斜角与斜率

倾斜角范围 [0°,180°)[0°,180°)，斜率 k=tan⁡αk=\tan\alpha（α≠90°\alpha\neq90°），过两点斜率公式 k=y2−y1x2−x1k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}。两直线平行则斜率相等（或都无斜率），垂直则斜率之积为 −1-1（或一条无斜率）。
§ 02

直线方程的五种形式

点斜式、斜截式要求斜率存在；两点式、截距式要求相应截距存在；一般式 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 覆盖所有直线。含参问题与求截距时，斜率不存在的竖直直线必须单独讨论。
§ 03

圆的方程

标准方程 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 直接读出圆心半径；一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 需满足 D2+E2−4F>0D^2+E^2-4F>0。配方是两种形式互化的基本手段，已知三条件时用待定系数法。
§ 04

直线与圆的位置关系

比较圆心到直线距离 dd 与半径 rr：相离、相切、相交。弦长公式 ∣AB∣=2r2−d2|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}；切线问题按点在圆上（一条）或圆外（两条）分类，注意斜率不存在的切线。
§ 05

圆与圆的位置关系

比较圆心距与两半径之和、之差，分五种位置关系。两圆相交时公共弦所在直线方程由两圆方程相减得到；圆系方程可简化过交点的曲线问题。

核心公式速查

点到直线距离d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
弦长公式∣AB∣=2r2−d2|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}

学习建议与易错点

  • 求切线方程先设点斜式，再单独检验竖直直线，两类情况都验证后才算完整。
  • 已知圆心、半径相关条件优先设标准方程；已知三点求圆用一般方程解三元一次方程组更快。
  • 弦中点问题用「圆心与弦中点连线垂直于弦」往往比联立方程计算量小。
  • 直线与圆的位置关系优先用圆心到直线距离法判断，联立方程法只用于求交点坐标。