知识要点 · 高中数学

空间向量与立体几何

选择性必修第一册 · 高一至高三

空间向量的运算与数量积，空间向量基本定理，用向量方法证明平行垂直、求异面直线夹角与线面角、二面角及距离。

空间向量及其运算把平面向量推广到三维，通过建系将点线面的角度与距离化为代数计算，立体几何由此从综合证明转向坐标运算。

§ 01

空间向量及其运算

空间向量的加减、数乘运算与运算律和平面向量一致；共线定理（

\vec{a}=\lambda\vec{b}

）与共面定理（

\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}

）用于判定点线面的共线共面关系。

§ 02

以正方体、长方体的顶点或正四棱锥底面中心为原点建系，用坐标表示点、用坐标差表示向量。建系的关键是找到两两垂直的三条棱，原点与坐标轴选得好能大幅简化计算。

§ 03

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle

，坐标形式为

x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2

。数量积是计算角度与证明垂直（数量积为零）的核心工具。

§ 04

异面直线所成角用两方向向量夹角（取绝对值，范围

[0°,90°]

）；线面角是方向向量与法向量夹角的余角；二面角由两半平面的法向量夹角确定，需结合图形判断锐钝。

§ 05

点到平面的距离等于斜线段向量在法向量上投影的绝对：

d=\dfrac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}

。异面直线距离可先求公垂向量再投影，线面距离常转化为点面距离。

向量夹角

\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

点到面距离

d=\dfrac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}