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数学知识体系

Observatory Archive of Mathematics
⌕2026/8/31
知识要点 · 中学数学

数据分析

统计与概率 · 七至九年级

平均数、中位数、众数的选取与意义，极差与方差刻画数据波动。

数据分析研究刻画数据集中趋势与波动程度的统计量：平均数、中位数、众数三剑客描述「一般水平」，极差与方差刻画「波动大小」，为高中的统计推断打基础。

§ 01

平均数

算术平均数 = 数据总和 ÷ 个数；加权平均数中各数据按权重（如频数、权重）加权：xˉ=x1f1+x2f2+⋯f1+f2+⋯\bar{x}=\dfrac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots}{f_1+f_2+\cdots}。平均数利用全部数据但对极端值敏感。
§ 02

中位数与众数

中位数：按大小排列后位于中间的数（偶数个取中间两数平均），不受极端值影响；众数：出现次数最多的数据，可能有多个或没有。三者从不同角度刻画集中趋势，选取要看数据特点与应用情境。
§ 03

极差与方差

极差 = 最大值 − 最小值，粗粒度刻画波动。方差 s2=1n∑(xi−xˉ)2s^2=\dfrac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2 度量各数据偏离平均数的平均平方程度：方差越小数据越稳定。标准差是方差的算术平方根（同单位）。
§ 04

统计量的综合运用

比较两组成绩：平均数相同时比方差定稳定性；平均数不同时结合具体情境选择（如选手选拔看平均分与稳定性）。读统计量做决策是中考应用题的常见设问。

核心公式速查

加权平均数xˉ=∑xifi∑fi\bar{x}=\dfrac{\sum x_i f_i}{\sum f_i}
方差s2=1n∑i=1n(xi−xˉ)2s^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
极差极差=xmax⁡−xmin⁡\text{极差}=x_{\max}-x_{\min}

学习建议与易错点

  • 三数选取口诀：看平均水平用平均数，有极端值看中位数，关心最常出现用众数。
  • 比较稳定性永远用方差（或标准差），别用极差下结论——极差只看两个端点。
  • 数据整体加 aa：平均数加 aa，方差不变；整体乘 kk：平均数乘 kk，方差乘 k2k^2。这条性质是小题常客。
  • 中位数求解先排序，偶数个数据别忘取中间两数的平均。