知识要点 · 中学数学

反比例函数

函数 · 七至九年级

y=k/x 的图象（双曲线）与性质，k 的几何意义，与物理量（压强、电流）结合的建模。

反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 以双曲线为图象，刻画两个量的乘积恒定关系：从图象性质到 $k$ 的面积意义，再到压强、电流等跨学科建模，是初中函数家族的第二个成员。

§ 01

概念与图象

形如

y=\dfrac{k}{x}

（

k\neq 0

）的函数，图象是以坐标轴为渐近线的双曲线：

k>0

时两支位于一、三象限，

k<0

时位于二、四象限。自变量

x\neq 0

，图象与坐标轴永不相交。

§ 02

在每一支上：

k>0

时

y

随

x

增大而减小，

k<0

时

y

随

x

增大而增大。注意增减性只能在同一支内讨论，不能跨支比较（如不能说双曲线整体递减）。

§ 03

双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒为

|k|

。这是中考热门考点：由面积反求

k

，或由

k

求三角形面积（矩形面积的一半）。

§ 04

联立反比例与一次函数解析式求交点坐标，是「求两图象交点」的标准题型；比较大小（

y_1>y_2

的

x

范围）用图象上下位置直观判断。

§ 05

压力一定时压强

p=\dfrac{F}{S}

、电压一定时电流

I=\dfrac{U}{R}

、路程一定时速度与时间，都是反比例模型。建模三步：确定不变量 → 写出

y=\dfrac{k}{x}

→ 用数据定

k

。

反比例函数

y=\dfrac{k}{x}\ (k\neq 0)

k 的面积意义

S_{\text{矩形}}=|xy|=|k|