知识要点 · 中学数学

相似与锐角三角函数

图形的性质 · 七至九年级

相似三角形的判定与性质，位似；锐角三角函数（正弦、余弦、正切），解直角三角形及其测量应用。

相似研究形状相同大小不同的图形，锐角三角函数把直角三角形的边角关系数值化：两者共同构成测量高度、距离等实际问题的数学工具，也为高中三角函数与圆锥曲线做准备。

§ 01

相似三角形的判定

三条判定：两角对应相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS 相似）、三边对应成比例（SSS 相似）。平行于三角形一边的直线截出的三角形与原三角形相似（A 字形、X 字形基本模型）。

§ 02

对应边成比例（比例系数

k

叫相似比），对应角相等；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

k^2

。中位线定理可视为相似比

1:2

的特例。

§ 03

位似是特殊的相似：对应点连线交于一点（位似中心），对应边平行。利用位似可以放大缩小图形，坐标平面上以原点为位似中心、比例

k

的位似变换把

(x,y)

变为

(kx,ky)

或

(-kx,-ky)

。

§ 04

直角三角形中：

\sin A=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}

、

\cos A=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}

、

\tan A=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}

。特殊角：

30°

、

45°

、

60°

的三角函数值必须熟记（如

\sin 30°=\dfrac{1}{2}

、

\tan 45°=1

）。

§ 05

已知两独立条件（一边一角或两边）可解出直角三角形全部元素。应用：仰角俯角测高度、方位角与坡度问题，标准流程是画图标角、构造直角三角形、选三角函数列式。

正弦

\sin A=\dfrac{a}{c}

余弦

\cos A=\dfrac{b}{c}

正切

\tan A=\dfrac{a}{b}

面积比 = 相似比的平方，周长比 = 相似比——这两个结论在压轴小题反复出现。
三角函数选口诀「有斜边用 sin/cos，无斜边用 tan」，先看已知边与所求边再定函数。
特殊角值要倒背： $\sin 30°=\dfrac{1}{2}$ ， $\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\tan 60°=\sqrt{3}$ 。
测量问题先画图：仰角俯角都以水平线为基准，坡度 $i=\tan\alpha=$ 铅直高度/水平宽度。