概念

伽罗瓦对应

中间域与伽罗瓦群的子群之间建立一一对应（伽罗瓦基本定理），把域论问题翻译为群论问题。

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伽罗瓦对应抽象代数

01定义

伽罗瓦基本定理：伽罗瓦扩张

L/K

的中间域与伽罗瓦群

\operatorname{Gal}(L/K)

的子群一一对应（反序）。域论问题由此翻译为群论问题——这是「对称性决定结构」的最深刻实例。

伽罗瓦对应：中间域格与子群格反序同构

中间域 $E$ ↦ 固定 $E$ 的自同构子群 $\operatorname{Gal}(L/E)$ ；子群 $H$ ↦ 被 $H$ 固定的元素构成中间域 $L^H$ ——互逆。

中间域 $E/K$ 本身是伽罗瓦扩张 $\iff$ 对应子群正规于 $G$ ，此时 $\operatorname{Gal}(E/K)\cong G/H$ ——域的嵌套结构被群的商结构精确复制。

$\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q}$ 的伽罗瓦群是 $C_2\times C_2$ ，三个 2 阶子群对应三个二次中间域——最小的非平凡完整示例。

E\leftrightarrow\operatorname{Gal}(L/E),\quad[L:E]=|\operatorname{Gal}(L/E)|

E/K\ \text{正规}\iff\operatorname{Gal}(L/E)\triangleleft G

伽罗瓦 1832 年决斗前夜的手稿中已含对应思想；戴金 19 世纪末补全严格证明；阿廷 1930 年代以纯代数方法重建理论，现代形态由此定型。

尺规作图不可能问题（倍立方、三等分角）由伽罗瓦对应一举解决；现代数论的类域论、朗兰兹纲领都是伽罗瓦对应的高维推广。

伽罗瓦对应：Q(√2,√3) 的子群 ↔ 中间域包含关系反转：子群越大，不动域越小

子群选择2