群与子群
循环群与置换群是最基本的例子（凯莱定理：任何群都嵌入置换群），子群判定准则给出识别子结构的快速方法。
所属主题：抽象代数 ↗阅读路径
参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。
01定义
群是一个集合配一种运算，满足封闭性、结合律、单位元与逆元四条公理——它是「对称」的完整代数化身。循环群与置换群是最基本的例子；凯莱定理断言任何群都嵌入某个置换群。
02核心要点
01
公理与例子
整数加法群 、非零有理数乘法群、 次旋转群 、置换群 ——运算可以是加法、乘法或复合，公理一视同仁。
02
子群判定
非空子集 是子群 对运算与取逆封闭（一步判定法）；拉格朗日定理：有限群的子群阶整除群阶。
03
凯莱定理
任何群 同构于某个置换群的子群（左乘作用）——「群就是置换的抽象」，抽象与具体在此汇合。
03关键公式
04历史沿革
群概念由伽罗瓦 1830 年代在研究方程根置换时引入；凯莱 1854 年给出抽象定义；19 世纪末群论成为独立学科，20 世纪完成有限单群分类（2004，横跨万页）。
05应用与延伸
晶体学 230 空间群分类晶体结构；密码学的椭圆曲线群与迪菲-赫尔曼密钥交换；粒子物理的对称群决定守恒律与粒子谱。
06交互演示
循环群 C₆ 与子群：旋转与陪集旋转 k·60°；子群 H={0,2,4}（偶数步）及其陪集 1+H={1,3,5}