概念

代数基本定理

任何复系数 n 次多项式恰有 n 个复根，韦达定理描述根与系数的对称关系，这是复数域代数封闭性的核心结论。

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代数基本定理初等代数

01定义

任何

n

次复系数多项式在复数域中恰有

n

个根（计重数）——复数域是「代数封闭」的，多项式方程在复数范围内永不落空。韦达定理进一步给出根与系数的对称关系。

n 次多项式在复平面上恰有 n 个根（计重数）

$p(z)=a_n\prod_{i=1}^n(z-z_i)$ ：复数域上每个多项式完全分解为一次因子——「代数封闭域」由此得名。

根之和 $=-a_{n-1}/a_n$ 、根之积 $=(-1)^n a_0/a_n$ ，一般地根的基本对称多项式都是系数的有理式——不解方程即知根的集体信息。

实系数多项式的非实根必共轭成对出现，故实数域上不可约多项式只有一次与二次两种。

p(z)=a_n\prod_{i=1}^{n}(z-z_i)

\sum_i z_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\quad\prod_i z_i=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}

达朗贝尔 1746 年给出第一个（不完整的）证明；高斯 1799 年博士论文给出首个实质严格的证明，其后一生又补三种证法；现代表证依赖拓扑或复分析。

控制理论用根的位置判定系统稳定性（极点配置）；信号处理的 z 变换、编码理论的域构造都依赖复数域的代数封闭性。

代数基本定理：zⁿ − 1 恰有 n 个根增大 n：单位圆上等距分布 n 个根

n 多项式次数5