概念

Ext与Tor

Ext 是 Hom 的右导出（度量扩张问题），Tor 是张量积的左导出（度量挠问题），二者都是双函子且由短正合列诱导长正合列。

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Ext与Tor同调代数

01定义

Ext 与 Tor 是两个基本导出函子：

\operatorname{Ext}^n

是

\operatorname{Hom}

的右导出，度量「扩张」的障碍；

\operatorname{Tor}_n

是张量积的左导出，度量「挠」的障碍。它们把正合性的损失量化为可计算的对象。

Ext¹(C,A) 分类以 A 为核、C 为商的全部扩张

取投射（或内射）消解代入函子再取同调： $\operatorname{Ext}^n(M,N)=H^n(\operatorname{Hom}(P_\bullet,N))$ ， $\operatorname{Tor}_n=H_n(P_\bullet\otimes N)$ ——消解的选取无关结果。

$\operatorname{Ext}^0=\operatorname{Hom}$ ； $\operatorname{Ext}^1$ 分类扩张；更高次 Ext 编码迭代的装配障碍； $\operatorname{Ext}^{\geq 1}=0$ 即「正合性完美保持」。

$\mathbb{Z}/2\otimes\mathbb{Z}/2\cong\mathbb{Z}/2$ 而 $\operatorname{Tor}_1(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ ——张量化吞掉的「挠信息」被 Tor 找回。

\operatorname{Ext}^n_R(M,N)=R^n\operatorname{Hom}_R(\,-,N)(M)

\operatorname{Tor}_n^R(M,N)=L_n(M\otimes_R\,-)(N)

艾伦伯格与麦克莱恩 1956 年《同调代数》系统建立导出函子理论；Ext 的扩张解释与 Tor 的挠解释随后完善；二者成为代数几何、代数拓扑的通用货币。

代数几何中层的扩张分类（向量丛的层 Ext）、形变理论；交换代数的深度与正则性判别；拓扑学的万有系数定理以 Ext/Tor 表述。

Ext 与 Tor：两种失真度量Ext¹(Z/n, Z) = Z/n：Hom 缺失的右精确性；Tor(Z/n, Z/m) = Z/gcd(n,m)：张量积缺失的左精确性

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