概念

行列式

行列式是多线性的体积函数，其展开公式与克拉默法则给出线性方程组的显式解，行列式为 0 恰对应矩阵不可逆。

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行列式线性代数

01定义

行列式是方阵的多线性交替函数：它度量线性变换对体积的伸缩率与定向。

\det A=0

恰对应「映射压扁了空间」（不可逆）；展开公式与克拉默法则给出方程组的显式解。

行列式 = 体积伸缩率：单位方块在 A 下的像的面积

行列式由三条公理唯一决定：对各行多线性、交换两行变号、单位阵为 1——由此推出莱布尼茨公式 $\det A=\sum_\sigma\operatorname{sgn}(\sigma)\prod a_{i\sigma(i)}$ 。

$\det A=0\iff$ 行（列）线性相关 $\iff A$ 不可逆 $\iff Ax=0$ 有非零解——一个数串起线性代数的全部「退化」情形。

$x_i=\det A_i/\det A$ ：用行列式显式给出方程组解；理论上优美，数值上被消元法取代，但它在解析推导中不可或缺。

\det(AB)=\det A\cdot\det B

x_i=\frac{\det A_i}{\det A}\quad(\text{克拉默})

关孝和（1683）与莱布尼茨（1693）几乎同时独立发明行列式以解方程组；克莱姆 1750 年给出以其命名的法则；现代公理化表述归功于外尔斯特拉斯与格拉斯曼。

雅可比行列式是多元换元积分的伸缩因子；特征多项式 $\det(\lambda I-A)$ 由行列式定义；判别式、外代数与微分形式都以行列式思想为根。

有向面积 = det(a, b)拖 b 的 x 分量：平行四边形面积随行列式变化，共线时归零

b₁ 分量1.00