概念

VaR与CVaR

VaR 是给定置信水平下的最大损失，CVaR 是超过 VaR 的平均损失，后者满足次可加性，是更稳健的风险度量。

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VaR与CVaR金融数学

01定义

VaR 回答「正常情况下最多亏多少」：99% VaR 是损失分布的 99 分位数。但 VaR 不满足次可加性（分散投资可能「增加」风险度量），CVaR（期望短缺）取其尾部平均，成为一致性风险度量的标准——监管从 VaR 走向 CVaR 是风险理论的自我修正。

损失分布尾部：VaR 与 CVaR 的位置

VaR 可能 $\mathrm{VaR}(X+Y)>\mathrm{VaR}(X)+\mathrm{VaR}(Y)$ ：两笔贷款各自的 VaR 之和小于组合 VaR——鼓励分散的度量反而惩罚分散，公理上不合格。

CVaR（ES）= 尾部条件期望：满足全部一致性公理且可写成线性规划（Rockafellar-Uryasev）——可优化性使其成为组合风控的实用选择。

巴塞尔 III 市场风险框架（FRTB）从 99% VaR 转向 97.5% ES：尾部度量更严，且 ES 对肥尾更敏感——2008 年 VaR「失明」的教训写进了监管条文。

\mathrm{VaR}_\alpha=-q_\alpha(L),\quad \mathrm{CVaR}_\alpha=E[L\mid L\geq\mathrm{VaR}_\alpha]

J.P. Morgan 1994 年 RiskMetrics 系统推广 VaR；Artzner 等 1999 年《一致性风险度量》提出公理体系；Rockafellar-Uryasev 2000 年给出 CVaR 优化框架。

银行交易账簿资本计提、对冲基金风控限额、保险偿付能力监管（Solvency II）、组合优化中的风险约束。

风险价值 VaR 与条件风险价值 CVaRVaR = 损失分布的 α 分位数；CVaR = 超过 VaR 的尾部条件期望

置信水平 α0.95