概念

线性码

生成矩阵编码、校验矩阵检测错误，汉明码用奇偶校验位纠正单比特错误，码距决定纠错能力。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

线性码信息论与编码

01定义

线性码是向量空间中的编码：生成矩阵

G

线性编码、校验矩阵

H

用伴随式定位错误。汉明码以奇偶校验位纠正单比特错，码的最小距离

d

决定纠错能力——代数结构让编码与译码都有高效算法。

线性码的收发流程：编码、受损、伴随式纠错

$[n,k]$ 码： $G$ 为 $k\times n$ ，码字 = 消息× $G$ ； $H$ 满足 $GH^T=0$ ，伴随式 $rH^T$ 只与错误图样有关—— $2^{n-k}$ 个伴随式给错误分类。

校验矩阵的列取遍非零 $m$ 维向量：伴随式直接给出错误位置。 $[2^m-1,2^m-1-m]$ 完美码——校验球恰好填满空间，单比特纠错的最优设计。

汉明界、Singleton 界（MDS 码取等）、GV 界划定码率-距离的可行区域；编码理论的核心问题即在给定距离下最大化码率。

c=mG,\quad s=rH^T,\quad d_{\min}\ \Rightarrow\ \text{纠}\ \bigl\lfloor\tfrac{d-1}{2}\bigr\rfloor\ \text{错}

汉明 1950 年在贝尔实验室为计算机存储发明汉明码；格雷 1951 年给出相关概念；线性码的代数框架由斯莱皮恩等 1960 年代建立。

ECC 内存的单比特纠错、二维码的定位图案与纠错层、卫星链路的系统码设计、RAID 存储的奇偶恢复。

Hamming(7,4)：三位校验的 Venn 纠错翻转任意一位，检查三个校验圆中哪些校验失败，唯一确定错误位置

翻转位置0